Уравнението на окръжността има общ вид x ^ 2 + y ^ 2 + Ax + By + C = 0, което може да се използва за определяне на радиуса и центъра на окръжността.
Уравнението на кръга, което ще научите по-долу, има няколко форми. В различните случаи уравнението може да бъде различно. Затова го разберете добре, за да можете да го запомните наизуст.
Кръгът е набор от точки, които са на еднакво разстояние от точка. Координатите на тези точки се определят чрез подреждането на уравненията. Това се определя въз основа на дължината на радиуса и координатите на центъра на окръжността.
Кръгови уравнения
Съществуват различни видове уравнения, а именно уравнения, образувани от централната точка и радиус и уравнение, което може да се намери за централната точка и радиус.
Общо уравнение на окръжността
Има общо уравнение, както по-долу:
Съдейки от горното уравнение, централната точка и радиусът могат да бъдат определени, са:
Центърът на кръга е:
В центъра на P (a, b) и радиус r
От кръг, ако знаете централната точка и радиус, ще получите формулата:
Ако знаете централната точка на окръжност и радиуса на окръжността, където (a, b) е центърът, а r е радиусът на окръжността.
От уравнението, получено по-горе, можем да определим дали включването на точката се намира на кръга, или вътре или отвън. За да се определи местоположението на точката, като се използва заместването на точката в променливите x и y и след това се сравняват резултатите с квадрата на радиуса на окръжността.
Точка M (x 1 , y 1 ) лежи:
На кръга:
Вътре в кръга:
Извън кръга:
В с център O (0,0) и радиус r
Ако централната точка е на O (0,0), тогава направете заместването в предишната част, а именно:
От горното уравнение може да се определи местоположението на точка върху окръжността.
Точка M (x 1 , y 1 ) лежи:
На кръга:
Вътре в кръга:
Извън кръга: Прочетете също: Изкуството е: Определение, функция, типове и примери [ПЪЛНО]
Общата форма на уравнението може да бъде изразена в следните форми.
(x - a) 2 + (y - b) 2 = r2, или
X2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0, или
X2 + y2 + Px + Qy + S = 0, където P = -2a, Q = -2b и S = a2 + b2 - r2
Пресичането на линии и кръгове
Кръг с уравнението x2 + y2 + Ax + By + C = 0 може да се определи дали права h с уравнението y = mx + n не го докосва, обижда или пресича, използвайки дискриминантния принцип.
... (уравнение 1)
…… .. (уравнение 2)
Като замените уравнение 2 в уравнение 1, ще получите квадратно уравнение, а именно:
От квадратното уравнение по-горе, чрез сравняване на дискриминантните стойности, може да се види дали линията не нарушава / отрязва, нарушава или пресича кръга.
Правата h не пресича / обижда кръга, така че D <0
Линията h е допирателна към окръжността, така че D = 0
Правата h пресича окръжността, така че D> 0
Уравнения на допирателни към кръгове
1. Уравнение на допирателни през точка на окръжността
Допирателните към кръг точно отговарят на точка, разположена на окръжността. От точката на пресичане на допирателната и окръжността може да се определи уравнението на линията на допирателната.
Уравнението за допирателната към окръжността през точка P (x 1 , y 1 ), може да бъде определено, а именно:
- Форма
Уравнението на допирателната
- Форма
Уравнението на допирателната
- Форма
Уравнението на допирателната
Пример за проблеми:
Уравнението за допирателната през точката (-1,1) на окръжността
са:
Отговор:
Познайте уравнението за кръга
където A = -4, B = 6 и C = -12 и x 1 = -1, y 1 = 1
PGS е
Така че уравнението на допирателната е
2. Уравнението се допира до градиента
Ако права с наклон m е допирателна към окръжност,
тогава уравнението на допирателната е:
Ако е кръг,
тогава уравнението на допирателната:
Ако е кръг,
тогава уравнението на допирателната чрез заместване на r с,
така че:
или
3. Уравнения на допирателни към точки извън окръжността
От точка извън кръга могат да се нарисуват две допирателни към кръга.
Прочетете също: Демокрация: определение, история и видове [ПЪЛНО]За да се намери уравнението на допирателната, се използва формулата за уравнение на правилната линия, а именно:
От тази формула обаче стойността на наклона на линията е неизвестна. За да намерите наклона на линията, заменете уравнението с уравнението на окръжността. Тъй като линията е допирателна, тогава от уравнението се получава резултатът от заместването на стойността D = 0 и стойността на m
Пример за проблеми
Примерен проблем 1
Кръгът има централна точка (2, 3) и е с диаметър 8 cm. Уравнението на кръга е ...
Дискусия:
Тъй като d = 8 означава r = 8/2 = 4, така че уравнението за кръга, който се образува, е
(x - 2) ² + (y - 3) ² = 42
x² - 4x + 4 + y² -6y + 9 = 16
x² + y² - 4x - 6y - 3 = 0
Примерен проблем 2
Намерете общото уравнение за окръжността, центрирана в точка (5,1) и нарушаваща линията 3 x - 4 y + 4 = 0!
Дискусия:
Ако е известно, че центърът на окръжността ( a , b ) = (5,1) и допирателната към окръжността е 3 x - 4 y + 4 = 0, тогава радиусът на окръжността се формулира, както следва.
По този начин общото уравнение за окръжността е както следва.
По този начин общото уравнение за окръжност, центрирана в (5,1) и нарушаваща линията 3 x - 4 y + 4 = 0, е
Примерен проблем 3
Намерете общото уравнение за кръг, центриран в (-3,4) и нарушаващ оста Y!
Дискусия:
Първо, нека първо нарисуваме графиката на кръга, която е центрирана в (-3,4) и нарушава оста Y!
Въз основа на изображението по-горе, може да се види, че центърът на кръга е в координата (-3,4) с радиус 3, така че:
По този начин общото уравнение, което е центрирано в (-3,4) и нарушава оста Y, е
В някои случаи радиусът на окръжността не е известен, но допирателната е известна. И така, как да определим радиуса на кръга? Погледнете следната снимка.
Изображението по-горе показва, че допирателната към уравнението px + qy + r = 0 се отнася до окръжността, центрирана в C ( a, b ). Радиусът може да се определи по следното уравнение. а, б ). Радиусът може да се определи по следното уравнение.
Може да е полезно.
