Квадратното уравнение е едно от математическите уравнения на променливата, което има най-голямата степен на две.
Общата форма на квадратно уравнение или PK е както следва:
брадва 2 + bx + c = 0
където x е променливата, a , b е коефициентът, а c е константата. Стойността на a не е равна на нула.
Графични форми
Ако квадратното уравнение е описано чрез декартови координати (x, y), то то образува параболична графика. Следователно квадратните уравнения също често се наричат параболични уравнения .
Следва пример за формата на това уравнение под формата на параболична графика.
В общото уравнение стойностите a , b и c силно влияят на получения параболичен модел.
Стойността на a определя вдлъбната или изпъкнала крива на параболата. Ако стойността на a> 0, тогава параболата ще се отвори (вдлъбната) . И обратно, ако a <0 , тогава параболата ще се отвори надолу (изпъкнала) .
Стойността на b в уравнението определя върха на параболата . С други думи, определете стойността на оста на симетрията на кривата, която е равна на x = - b / 2a .
Константната стойност c на графиката на уравнението определя точката на пресичане на функцията парабола по оста y . По-долу е параболична графика с промени в константната стойност c .
Корените на квадратното уравнение (ПК)
Решението на квадратното уравнение се нарича кар-коренът на квадратното уравнение .
Различни PK Roots
Видовете корени PK могат лесно да бъдат намерени, като се използва общата формула D = b2 - 4ac от общото уравнение за квадратната ос2 + bx + c = 0.
По-долу са видовете корени на квадратни уравнения.
1. Истински корен (D> 0)
Ако стойността на D> 0 от PK, тя ще даде реални корени, но има различни корени. С други думи x1 не е същото като x2.
Пример за реално уравнение на корен (D> 0)
Намерете основния тип на уравнението x2 + 4x + 2 = 0.
Решение:
a = 1; b = 4; и c = 2
D = b2 - 4ac
D = 42 - 4 (1) (2)
D = 16 - 8
D = 8
Тъй като стойността на D> 0, тогава коренът е от тип реален корен.
2. Реалният корен е равен на x1 = x2 (D = 0)
Е тип корен от квадратно уравнение, който произвежда корени със същата стойност (x1 = x2).
Пример за реални корени (D = 0)
Намерете PK коренната стойност на 2x2 + 4x + 2 = 0.
Прочетете също: Видове водни цикли (+ пълна снимка и обяснение)Решение:
a = 2; b = 4; c = 2
D = b2 - 4ac
D = 42 - 4 (2) (2)
D = 16 - 16
D = 0
Тъй като стойността на D = 0, е доказано, че корените са реални и двойни.
3. Въображаеми корени / нереални (D <0)
Ако стойността на D <0, тогава коренът на квадратното уравнение ще бъде въображаем / не реален.
Пример за въображаеми корени (D <0) /
Намерете основния тип на уравнението x2 + 2x + 4 = 0.
Решение:
a = 1; b = 2; c = 4
D = b2 - 4ac
D = 22 - 4 (1) (4)
D = 4 - 16
D = -12
Тъй като стойността на D <0, коренът на уравнението е нереален или въображаем корен.
Намерете корените на квадратното уравнение
Има няколко метода, които могат да се използват за намиране на корените на квадратното уравнение. Сред тях са факторизация, перфектни квадрати и използване на формулата abc.
По-долу са описани няколко метода за намиране на корени на уравнения.
1. Факторизация
Факторизацията / факторингът е метод за намиране на корените чрез търсене на стойност, която, ако се умножи, ще доведе до друга стойност.
Има три форми на квадратни уравнения (ПК) с различна коренна факторизация, а именно:
| Не. | Форма за уравнение | Рут-корен факторизация |
| 1 | x 2 + 2xy + y 2 = 0 | (x + y) 2 = 0 |
| 2 | x 2 - 2xy + y 2 = 0 | (х - у) 2 = 0 |
| 3 | x 2 - y 2 = 0 | (x + y) (x - y) = 0 |
По-долу е даден пример за проблем за използването на метода на факторизация в квадратни уравнения.
Решете квадратното уравнение 5x 2 + 13x + 6 = 0, като използвате метода на факторизацията.
Решение:
5x2 + 13x = 6 = 0
5x2 + 10x + 3x + 6 = 0
5x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0
(5x + 3) (x + 2) = 0
5x = -3 или x = -2
И така, решението ще бъде x = -3/5 или x = -2
2. Перфектни квадрати
В перфектно квадратното форма е квадратно уравнение, което произвежда рационални числа .
Резултатите от перфектно квадратно уравнение обикновено използват следната формула:
(x + p) 2 = x2 + 2px + p2
Общото решение на перфектното квадратно уравнение е следното:
(x + p) 2 = x2 + 2px + p2
с (x + p) 2 = q, тогава:
(x + p) 2 = q
x + p = ± q
x = -p ± q
Ето пример за проблем за използването на метода на перфектното уравнение
Решете уравнението x2 + 6x + 5 = 0, като използвате перфектния метод на квадратното уравнение!
Решение:
x2 + 6x +5 = 0
x2 + 6x = -5
Следващата стъпка е да добавите едно число от дясната и лявата страна, така че да може да се промени на идеален квадрат.
x2 + 6x + 9 = -5 + 9
x2 + 6x + 9 = 4
(x + 3) 2 = 4
(x + 3) = √4
x = 3 ± 2
И така, крайният резултат е x = -1 или x = -5
Прочетете също: Определение и разлика на омонимите, хомофоните и хомографите3. ABC Квадратични формули
Формулата abc е алтернативен избор, когато квадратното уравнение не може да бъде решено с факторизация или перфектни квадратни методи.
По-долу е формулата abc за квадратното уравнение ax2 + bx + c = 0.
Следва пример за решаване на задача за квадратно уравнение с помощта на формулата abc .
Решете уравнението x2 + 4x - 12 = 0, използвайки метода на формулата abc!
Решение:
x2 + 4x - 12 = 0
където a = 1, b = 4, c = -12
Изграждане на ново квадратно уравнение
Ако преди това се научихме как да намерим корените на уравнението, то сега ще се научим да съставяме квадратното уравнение от корените, които са били известни преди.
Ето няколко начина, по които можете да създадете нов PK.
1. Постройте уравнения, когато корените са известни
Ако уравнението има корени x1 и x2, тогава уравнението за тези корени може да бъде изразено чрез
(x- x 1 ) (x- x 2 ) = 0
Пример:
Намерете квадратно уравнение, където корените са между -2 и 3.
Решение:
x 1 = -2 и x 2 = 3
(x - (- 2)) (x-3) = 0
(x + 2) (x + 3)
x2-3x + 2x-6 = 0
x2-x-6 = 0
Така че резултатът от уравнението за тези корени е x2-x-6 = 0
2. Постройте квадратно уравнение, ако знаете броя и произведението на корените
Ако са известни корените на квадратното уравнение с броя и времената на x1 и x2, квадратното уравнение може да бъде преобразувано в следната форма.
x2- (x 1+ x 2 ) x + (x 1. x 2 ) = 0
Пример:
Намерете квадратно уравнение с корени 3 и 1/2.
Решение:
x 1 = 3 и x 2 = -1/2
x 1+ x 2 = 3 -1/2 = 6/2 - 1/2 = 5/2
x 1. x 2 = 3 (-1/2) = -3/2
По този начин квадратното уравнение е:
x2- (x 1+ x 2 ) x + (x 1. x 2 ) = 0
x2– 5/2 x - 3/2 = 0 (всяка страна умножена по 2)
2x2-5x-3 = 0
И така, квадратното уравнение за корени 3 и 1/2 е 2x2-5x-3 = 0.
