Математическата индукция е дедуктивен метод, използван за доказване на верни или неверни твърдения.
Трябва да сте учили математическа индукция в гимназията. Както знаем, математическата индукция е продължение на математическата логика.
В неговото приложение математическата логика се използва за изучаване на твърдения, които са неверни или верни, еквивалентни или отрицателни и се правят заключения.
Основни понятия
Математическата индукция е дедуктивен метод, който се използва за доказване на верни или неверни твърдения.
В процеса се правят заключения въз основа на валидността на общоприетите твърдения, така че конкретни твърдения също могат да бъдат верни. В допълнение, променлива в математическата индукция също се счита за член на множеството от естествени числа.
По принцип има три стъпки в математическата индукция, за да се докаже дали формула или твърдение могат да бъдат верни или обратно.
Тези стъпки са:
- Докажете, че дадено твърдение или формула е вярно за n = 1.
- Да приемем, че дадено твърдение или формула е вярно за n = k.
- Докажете, че дадено твърдение или формула е вярно за n = k + 1.
От горните стъпки можем да приемем, че дадено изявление трябва да бъде проверимо за n = k и n = k + 1.
Видове математическа индукция
Съществуват различни видове математически задачи, които могат да бъдат решени чрез математическа индукция. Следователно математическата индукция може да бъде разделена на три вида, а именно редици, деление и неравенство.
1. Поредица
При този тип серии обикновено математическият индукционен проблем се намира под формата на последователно събиране.
Така че, в серийния проблем, истината трябва да бъде доказана в първия член, k-член и th-член (k + 1).
2. Дивизия
Видовете математическа индукция на разделяне могат да бъдат намерени в различни задачи, които използват следните изречения:
- a се дели на b
- b фактор на a
- b разделя a
- кратно b
Тези четири характеристики показват, че изявлението може да бъде решено с помощта на математическа индукция от типа деление.
Нещото, което трябва да запомните, е, че ако числото a се дели на b, тогава a = bm, където m е цяло число.
3. Неравенство
Видът на неравенството се обозначава със знак, по-голям или по-малък от този в изявлението.
Има свойства, които често се използват при решаване на видове неравенства по математическа индукция. Тези характеристики са:
- a> b> c ⇒ a> c или a <b <c ⇒ a <c
- a 0 ⇒ ac <bc или a> b и c> 0 ⇒ ac> bc
- a <b ⇒ a + c <b + c или a> b ⇒ a + c> b + c
Примери за математически индукционни задачи
По-долу е примерен проблем, за да можете по-добре да разберете как да решите доказателство за формула с помощта на математическа индукция.
Ред
Пример 1
Докажете 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n + 1), за всеки n естествени числа.
Отговор:
P (n): 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1)
Ще бъде доказано, че n = (n) е вярно за всеки n ∈ N
Първа стъпка :
Ще се покаже, че n = (1) е вярно
2 = 1 (1 + 1)
Така че, P (1) е вярно
Втора стъпка :
Да приемем, че n = (k) е вярно, т.е.
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1), k ∈ N
Трета стъпка
Ще се покаже, че n = (k + 1) също е вярно, т.е.
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
От предположенията:
2 + 4 + 6 +… + 2k = k (k + 1)
Добавете двете страни с u k + 1 :
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = k (k + 1) + 2 (k + 1)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 2)
2 + 4 + 6 +… + 2k + 2 (k + 1) = (k + 1) (k + 1 + 1)
Така че n = (k + 1) е вярно
Пример 2
Използвайте математическа индукция, за да докажете уравнения
Sn = 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2n-1) = n2 за всички цели числа n ≥ 1.
Отговор:
Първа стъпка :Ще се покаже, че n = (1) е вярно
S1 = 1 = 12
Втора стъпка
Да приемем, че n = (k) е вярно, т.е.
1 + 3 + 5 +7 + ... + 2 (k) -1 = k2
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k 2
Трета стъпка
Докажете, че n = (k + 1) е вярно
1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
не забравяйте, че 1 + 3 + 5 +7 + ... + (2k-1) = k2
тогава
k2 + [2 (k + 1) - 1] = (k + 1) 2
k2 + 2k + 1 = (k + 1) 2
(k + 1) 2 = (k + 1) 2
тогава горното уравнение е доказано
Пример 3
Докажете, че 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2 е вярно, за всеки n естествени числа
Отговор:
Първа стъпка :
Ще се покаже, че n = (1) е вярно
1 = 12
Така че, P (1) е вярно
Втора стъпка :
Да приемем, че n = (k) е вярно, т.е.
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) = k2, k ∈ N.
Трета стъпка:
Ще се покаже, че n = (k + 1) също е вярно, т.е.
1 + 3 + 5 +… + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
От предположенията:1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2
Добавете двете страни с u k + 1 :
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + (2 (k + 1) - 1)
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = k2 + 2k +1
1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + (2 (k + 1) - 1) = (k + 1) 2
Така че n = (k + 1) също е вярно
Дивизия
Пример 4
Докажете, че n3 + 2n се дели на 3 за всеки n естествени числа
Отговор:
Първа стъпка :
Ще се покаже, че n = (1) е вярно
13 + 2,1 = 3 = 3,1
Така че n = (1) е вярно
Прочетете също: Разбиране и характеристики на комунистическата идеология + примериВтора стъпка :
Да приемем, че n = (k) е вярно, т.е.
k3 + 2k = 3m, k ∈ NN
Трета стъпка:
Ще се покаже, че n = (k + 1) също е вярно, т.е.
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, p ∈ ZZ
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 3k2 + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3m + 3 (k2 + k + 1)
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3 (m + k2 + k + 1)
Тъй като m е цяло число и k е естествено число, (m + k2 + k + 1) е цяло число.
Да предположим, че p = (m + k2 + k + 1), тогава
(k + 1) 3 + 2 (k + 1) = 3p, където p ∈ ZZ
Така че n = (k + 1) е вярно
Неравенство
Пример 5
Докажете, че за всяко естествено число n ≥ 2 е валидно
3n> 1 + 2n
Отговор:
Първа стъпка :
Ще се покаже, че n = (2) е вярно
32 = 9> 1 + 2,2 = 5
Така че, P (1) е вярно
Втора стъпка :
Да приемем, че n = (k) е вярно, т.е.
3k> 1 + 2k, k ≥ 2
Трета стъпка:
Ще се покаже, че n = (k + 1) също е вярно, т.е.
3k + 1> 1 + 2 (k + 1)
3k + 1 = 3 (3k)3k + 1> 3 (1 + 2k) (защото 3k> 1 + 2k)
3k + 1 = 3 + 6k
3k + 1> 3 + 2k (защото 6k> 2k)
3k + 1 = 1 + 2k + 2
3k + 1 = 1 + 2 (k + 1)
Така че n = (k + 1) също е вярно
Пример 6
Докажете, че за всяко естествено число n ≥ 4 е валидно
(n + 1)! > 3n
Отговор:
Първа стъпка :
Ще се покаже, че n = (4) е вярно
(4 + 1)! > 34
лява страна: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
дясна страна: 34 = 81
Така че n = (4) е вярно
Втора стъпка :
Да приемем, че n = (k) е вярно, т.е.
(k + 1)! > 3k, k ≥ 4
Трета стъпка:
Ще се покаже, че n = (k + 1) също е вярно, т.е.
(k + 1 + 1)! > 3k + 1
(k + 1 + 1)! = (k + 2)!(k + 1 + 1)! = (k + 2) (k + 1)!
(k + 1 + 1)! > (k + 2) (3k) (защото (k + 1)!> 3k)
(k + 1 + 1)! > 3 (3k) (защото k + 2> 3)
(k + 1 + 1)! = 3k + 1
Така че n = (k + 1) също е вярно
